液压伺服控制系统的稳定性、阶跃响应和频率响应

一个环节或者系统，如下图所示的闭环控制系统。

当我们给它一个输入信号时，它的输出信号必定要经历一定的运动过程。

它如同我们液压常用的普通压力表测量油路上的压力一样。

压力表与油路接通开始进入测量时，压力表的指针也常常是左右来回摆动(稳态工作压力通常处于压力表量程的2/3处)；只有经历一定时间之后才稳定下来，这时才能从指针上读出压力数值来。

特别值得一提的是，现在的压力表，为了防震、减少损坏，除了采用管路通径小形成缓冲阻尼外，压力表内部通常灌有增加阻尼的甘油介质。

液压伺服控制系统，作为一个具有持续反馈的闭环系统；它也是这样要经历一定的运动过程。

我们常把系统达到稳定后的输出值，叫做输出的稳态值。

从阶跃信号输入时算起，其输出达到稳态时以前所经历的与时间相关的运动过程叫做瞬态过程(也是过渡过程)。

阶跃响应，在时间域中表达系统输出随阶跃输入信号的变化关系。

如果压力表的指针动荡不止，且其幅度已超过许可的限度，或者动荡越演越烈，那么大家知道这是油路中压力不稳定现象。

液压伺服控制系统也一样，如果其输出运动也出现这种现象时，那就认为这个系统是不稳定的。

不稳定的液压伺服控制系统是根本不能正常工作的，所以实际中应用的液压伺服控制系统的稳定性是必须具备的前提。

因此，判别液压动力机构的稳定性是一个首先要解决的问题。

本文定性地来说明这个问题。

下图所示的线性液压系统。

根据傅里叶分析，任何一个随时间变化的连续函数都可以分解为多个不同频率、不同振幅的正弦函数的叠加。

就如上图最左边的波形可以由右边的多个波形叠加而得。

基于此，我们就可以将任何输入信号看成正弦波；

而对于一个线性系统，如果输入一个正弦信号，则输出端同样会是正弦信号输出。

不过传到比较元件上的信号(即上图中反馈输出端的信号)，其符号与输入信号相反，这是液压机构进行了负反馈的缘故。

现在假定输入和反馈两个正弦信号没有相位差，如下图。

则两个正弦信号叠加后的振幅差，即偏差信号，就构成了对伺服阀进行控制操作的动作信号。

如果这个闭环系统是稳定的，则其动作信号每沿闭环回路转一圈就会减小一次；

仅需很少的作用圈数后，就可以使闭环系统达到输入信号与输出信号相抵消的程度，使动作信号减小到零，因而伺服装置就停止了动作，伺服阀重新回到了中立位置。

这表明机构达到了新的平衡位置而完成了操作目的。

由此可知，

液压伺服控制系统稳定与不稳定的原则，可以根据动作信号最终是否为零来判别。

这里所说的作用圈数越少，说明稳定性能越好，过渡过程的时间越短。

不稳定的系统，通常如下：

1.假如闭环系统错误连接反馈信号时，采用了正反馈，则动作信号必将每转一圈都连续增大，从而引起振幅越来越大造成不稳定现象。

2.另外，实际的闭环系统由于泄漏、摩擦阻尼等因素的存在，其输出信号Y总是要滞后于输入信号X，由此输出信号与输入信号本身就有相位差φ存在。

如果某一时刻反馈信号(与输出信号反相)与输入信号的相位差很大，比如说滞后180°，如下图。

则等于把输出端的正弦信号叠加在输入信号上，这样也同样可以造成使信号每沿闭环回路转一圈增大一次，结果也导致机构的不稳定。

3.此外，输出信号的振幅如果不小于输入信号的振幅，那么即使相位不发生滞后，伺服系统也会出现反方向运动发生不稳定。

综上可知，

实际影响不稳定的因素是多方面的，结合实际情况问题就比较复杂了。

在系统稳定的前提下，我们来评价一个液压伺服机构性能好与坏，必须从稳态和瞬态两个方面的性能加以考虑。

所谓“稳态”性能，主要体现在静态特性曲线。

首先，采用不同的常量输入信号，分别使闭环系统到达稳定后所测得的输出稳态值；

然后，绘制出输入—输出特性曲线。

我们把它称为静态特性曲线。

我们评价机构的稳态性能，主要就是从静态特性曲线出发的。

静态特性也比较容易分析计算出来，所以相对地说比较简单些。

所谓“瞬态”性能，主要体现在时域中的阶跃响应和频域中的波德图。

闭环系统在瞬态下的性能就决定于过渡过程的行为或品质了，情况就比较复杂，分析计算也比较困难。

下面简要介绍瞬态性能两种常用的评价方法，即阶跃响应和频率响应的方法。

阶跃响应如下图所示。

我们给闭环系统一个阶跃输入信号， 即当t<0时，输入为0；当t≥0时输入始终为某个恒值。

对于不同性能的闭环系统，会有不同形式的输出，就可以测出不同的过渡过程曲线。    

下图中示出了两种最常见的典型情况。

a.惯性系统(一阶系统)的阶跃响应。

b.阻尼振荡系统(二阶系统)的阶跃响应。

上面前一个图，即为一阶惯性环节；

它总是发生在阻尼比ξ大、质量m影响可以忽略的闭环系统。

它的过渡过程曲线的重要特征是没有超调量Mp(σ)；另一个重要特征时间T，叫做时间常数。

一般规定为当输出达到额定值的63%时所需的时间T。

我们常采用这个时间T的大小，来说明惯性滞后系统反应速度的快慢和过渡过程时间的长短。

时间常数T较小，说明反应速度较快，过渡过程短；

相对地说，它灵敏性和动态性能就较好。

输出信号即使已达到稳态值，但不能达到输入信号所对应的额定值，其差值叫稳态误差。如上、下图中右上角处的“限定偏差∆”。

它是衡量闭环系统工作精度的一个指标。

具有上述动态特性的传递函数形式为：

上面中的第二个图，即为二阶振荡环节。

阻尼振荡环节的阶跃响应，常发生在阻尼比ξ小，质量m影响不允许忽略的伺服系统上。

从这个图可以看到，由于阻尼的关系使振荡逐渐衰减最后到达稳态的情形。

对于这种具有阻尼振荡的阶跃响应，其规定的主要评价指标有：

1.过渡时间ts，不超过某个实际规定值。

这个时间又叫调节时间，通常规定为从信号输入时起到输出值与额定输出值之差△开始小于额定输出值的5%时为止所需的时间。

tr叫做上升时间，通常规定为输出达到额定值的90%时所需的时间。

这些都是系统反应速度快慢的标志。

一般说振荡环节的过渡时间ts，总比惯性环节所需的时间T来得小些。也就是说振荡环节相比惯性环节反应要快些。

2.过渡状态下输出对其额定值的最大偏差，叫超调量Mp(或σ)。

通常规定这个超调量不超过某个限度，这个指标限度一般定为5％左右。要求高时定为2％。

3.过渡过程振荡的次数，不超过一定的数目。

即当输出到达规定的许可值范围内之前，其出现的振荡数目。

一般也可规定为在最大超调量后允许再振2～3次为满足品质要求。

闭环系统的阻尼程度，对运动状态影响是非常大的，阻尼程度越小，振荡越持久，而且超调量也越大。如下图所示。

但是如果阻尼比ξ太大了，系统的过渡时间ts就会长，不容易很快地接近于稳态值。

一般说来未校正液压伺服机构的阻尼比ξ是比较小的，一般约为0.1～0.2。

为此，

在实际工程中应妥善地同时兼顾稳态误差和响应时间这两者的要求，力主求得一个合理、折衷的开环回路增益Kv。

根据经典的劳斯稳定性条件，开环回路增益Kv，与系统中最小有效固有频率和阻尼比的乘积相关，即：

一个稳定的闭环系统必须满足下式，并且还要留有一定的幅值和相位裕量，以规避一些不可测或忽略的变量影响环节导致的可能不稳定。

除了时域中的阶跃响应，在频域中的频率响应是另一种判断闭环系统稳定性重要的方法。

它是基于这样一种事实：

一个机构当输入是正弦形式时，机构到达稳态后其输出也仍是一个正弦形式，且频率不变； 

所不同的是，其输出幅值随输入频率有所改变，相位有所滞后。

振幅变了，相位也有了变化，常以滞后为多，重重要的是振幅的改变和相位的滞后，是随输入频率的不同而不同。

这种关系清楚地表现在下图中。

A.在低频时,

仅有相位滞后，振幅几乎不变。

这说明低频时，机构具有很好地复现输入信号的性能；

但随着频率ω的提高，情况就不同了。

此时，不仅有相位进一步的滞后，而且振幅明显地变小了；

B.在高频时

可以使振幅变得很小。

这说明，实际机构通常都具有低通滤波器的特性。

我们也常利用这一点来抑制某些高频的干扰。

其中能够很好地复现输入信号的频率范围ωb，我们常称之为通频带，或称之为频带宽度。

这个数值也是一个重要性能指标。

因为不同的机构特性这个数值也不同。

它也是伺服控制系统响应速度的一个度量。

频带若比较宽，则说明这个闭环系统响应速度快，机构灵敏。

因为它能复现频率较高的信号；但是频带过宽也不好，不仅使机构失去抑制高频干扰的能力，也往往出现其它性能的恶化现象。比如稳定性会变差，动态精度超调量过大等问题。所以必须根据实际情况妥善地加以处理。

频率响应的数学表达方法，叫做频率特性G (jω)。

其实频率特性，就是传递函数的一种特殊形式；也就是当复数s只取虚轴上jω数值时的情形。

A.频率特性，可以直接根据传递函数来确定。

只要把传递函数中的复数域中的拉氏因子s替换为频域中的jω即可得到。

也就是，对比G(s)与G(jω)的表达式,不难看出，只要令传递函数中的拉氏算子s=jω,就可由传递函数G(s)直接求得其频率特性G(jw)。这可应用于求取任何系统或元件的频率特性。

频率特性是传递函数的一个特殊情况。由于传递函数决定于系统(或元件)本身的结构，所以频率特性也只表示系统(或元件)本身的特性。

在已知系统(或元件)传递函数的情况下,其频率特性极易求取。

B.频率特性，也可以由实验方法直接测出。

如果系统很难从分析其物理规律来确切地列写其动态方程,则其频率特性可用实验方法来求取。

此时，可以对该系统输入不同频率的正弦波，记录输出端的幅值和相位就得到这一系统的频率特性(当然这一系统本身应该是稳定的)。这是频率响应法的一个优点。

其方法是：

首先，采用同一振幅、但频率不同的正弦信号输入到伺服机构，分别测出每个频率下对应输出的振幅和相位，与输入相比较。

然后，求出其振幅比M和相位差θ。

最后，把它们分别用振幅比M-频率θ的图线、和相位差θ一频率ω的图线绘制出来，得到相应的幅频特性曲线和相频特性曲线。

就用这一组曲线来表达频率特性。

C.频率特性也可以用极坐标方式作出，这时频率ω就是一个参变量。

这种图线叫“乃奎斯特图”，也就是幅相频率特性曲线。

直角坐标中横坐标表示实部，纵坐标表示虚部，则ф(jω)在复平面上可用一矢量表示，矢量端点为其坐标值，如图所示。

矢量的模H(ω)就是输出和输入幅值之比(称幅频特性)，矢量与实轴的夹角φ(ω)则是输出与输入的相位差(称相频特性)。

对于闭环系统的频率特性，可以写为：

当频率ω从0变到∞时，矢量端点在复平面上描出一条轨迹，它表示输出与输入幅值之比H和相角φ随着ω变化的情况，所以称之为幅相频率特性。

对于稍为复杂的系统，绘制其幅相频率特性时有一定的计算工作量。如果系统中元件有增减,或元件参数有变化，其幅相频率特性就需全部重新计算；同时也不易看出系统中个别元件的参数对整个系统频率特性的影响。

采用对数频率特性图(波德图)就能在一定程度上克服上述缺点。

波德图是分别用两个直角坐标图来表示幅频特性和相频特性，但通常两者合并在一起。这两图的横坐标均为频率ω的对数,即按lgω的值分度(但习惯上图上仍标其ω值)。

采用“乃奎斯特图”可以评价和讨论系统的动态、静态特性。

但是，在绘制它时，必须计算出不同频率ω时各矢量的模数和相角，然后在复数平面上画出各矢量的矢端，连结矢端才可得到极坐标图。

若是两个环节串联，就必须用“模相乘，相角相加”的原理来计算系统总的频率特性G(jw)，再画出图来,故工作量比较大

。

频率特性，是用来分析和评价伺服机构性能和品质的很重要的手段。

下面扼要介绍常用的对数频率特性，我们常常称为“波德图”。如下图所示。

它是取频率ω的常用对数lgω为横坐标；然后分别用20lgM和相位差θ为纵坐标表示出来的。

纵坐标振幅比M就是以分贝为单位标出的。也就是纵坐标振幅比M，采用声学的“分贝”单位20lgM。

1945年由波德(H.W.Bode)提出来的对数频率特性,大大简化了画图工作。

采用对数坐标表示的好处，是可以将串联环节传递函数的乘除关系简化成代数加减的关系来进行处理，便于作图；同时大大拓展了数值范围。

而且，对数幅频特性成了一条大部分由直线段组成的折线，所以绘制简单。

此外，对数频率特性比奈奎斯特图更适合于综合控制系统的校正(补偿)装置。

对数频率特性(或叫作波德图)是由幅频特性和相频特性两部分组成的。  

从这个图上可以看到随着频率的增高，机构相位滞后迅速增加。

从对数幅频特性曲线上可以看到低频时机构有很好的复现性能。

但随着频率的增高，复现性能就很快削弱。 

通常将对应-3dB的频率值作为幅频响应；-3dB对应的幅值比为0.707，即幅值衰减为70%；

相位移-90度对应的频率值作为相频响应。

换言之，                                                

我们往往规定，当闭环频率响应的值下降到零频率值以下3分贝(即下降到幅值的七成)时，对应的频率称为截止频率ωb。

对应的频率范围0≤ω≤ωb，这就是闭环系统所谓的“频带宽”、“频宽”。

有的，则以相位滞后到-90°时的频率，即极限频率为准。

工程中，常常取上述两者之小者。

在评价液压伺服控制系统稳定性时，又常以系统开环频率特性的相位滞后到-180°点上的振幅比约为-6分贝(即下降到幅值的五成)时视为满足稳定条件。

目前液压控制系统的基本理论，与MATLAB/Simulink仿真结合起来，使液压控制系统的分析实现了可视化，大大增强了液压控制分析的可靠性和多重验证性。

目前判定液压控制系统稳定性的方法归纳如下：

(1)利用闭环传递函数判定液压控制系统的稳定性。

利用step和impulse函数对MATLAB描述的闭环传递函数进行时域分析。

如果液压控制系统输出曲线收敛，则液压控制系统稳定；液压控制系统输出曲线发散则不稳定。

液压控制系统输出的单位阶跃响应曲线不再局限于二阶系统，对于高阶系统的单位阶跃响应同样也可以求取系统的快速性(如上升时间、峰值时间、调整时间、震荡次数和超调量)和准确性指标(如稳态误差)。

(2)利用开环传递函数判定液压控制系统的稳定性。

利用液压控制系统MATLAB描述的开环传递函数模型判定液压控制系统的稳定性的方法：

其一为波德图。

根据幅值和相位裕量、以及穿越频率来判定闭环液压控制系统的稳定性；

其二为利用pzmap、结合乃奎斯曲线特来判定液压控制系统的稳定性。

规则为零极点分布图中虚轴右侧极点数等于乃奎斯特曲线包围(-1, j0)的圈数时闭环液压控制系统稳定。

另外，还可以应用根轨迹判定液压控制系统稳定性和谐振。

(3)方框图判定液压控制系统的稳定性。

当输入为单位阶跃响应函数时，建立系统的Simulink模型，运行后若输出曲线收敛，则系统稳定。

如果按上述任意一种方法经过计算后液压控制系统还不稳定，那么需要对液压控制系统进行校正后，利用上述方法之一再次判定液压控制系统的稳定性。

据有关资料，稳定性判定最有效的方法是控制系统闭环传递函数的时域分析最有效。

综上可知，

稳定性判定是液压控制系统的一条红线，将稳定性判定和校正连接起来，是液压控制系统设计的重点工作和成功基础。

原文始发于微信公众号（Lee戏说液压理论与实战）：液压伺服控制系统的稳定性、阶跃响应和频率响应