液压刚度的等效

        本文以一个简单案例用以说明，如何对液压容积腔的体积进行设置，使得其相应的刚度与给定的机械刚度相等。
在一个密闭的液压腔中，内部流体质量为常数，体积弹性模量定义为：
        这个公式也称为动态升压公式，在该式中体积弹性模量B(P)是压力的函数（不需要指定该体积是等熵还是等温），V是容腔体积，dV/dt是随时间的变化，K_hydr是液压刚度。一般来说，在功率键合图理论中，刚度被定义为势变量与变位的比值，例如弹簧刚度等于力比压缩量，或者是势变量的导数与流变量的比值，是柔度的倒数。对于液压系统的密闭容腔，流量不是真实存在的流量，而是由于容腔壁面运动引起的体积变化。
我们以下图所示的模型为例，左侧是一质量块两端连接相同的弹簧，弹簧另一端固定，右侧是一相同质量块连接在液压缸上，液压缸端口封闭。我们定义液压缸模型的参数，使其与左侧机械模型等效。

我们首先计算左侧机械系统的弹簧刚度，定义沿着质量块模型所示箭头的方向为正方向，两个弹簧刚度相同，作用在质量块上的合力为：
        由于弹簧一端固定，状态相反（一个拉伸一个压缩），所以：
        现在，我们来计算右侧封闭液压缸的模型参数，液压缸两个封闭腔压力与体积分别是P₁，P₂，V₁，V₂，根据动态升压公式，
        我们定义活塞直径D_p，活塞杆直径D_r，两腔长度分别为x₁和x₂，则：
        定义活塞作用面积S，则：
        作用在质量块上的力F为：
        由于液压缸的最大行程X₁+X₂为常数，则：
        该方程右侧变量V₁和V₂在活塞运动过程中是随时变化的，这意味着我们不能保证所有工作点的等效刚度相等，我们在这里假定工作点位置V₁=V₂，并且在初始时刻P₁=P₂，因此
        由此我们计算出初始时刻的密闭容腔体积与长度，
        为了与机械系统的偏差尽量小，我们必须设定一个非常高的初始压力P₁=P₂，活塞一个非常小的位移即可产生很大的力，从而抵消掉重力的影响，同样，必须设置足够高的初始压力，以避免出现空化效应。同样，为了保证在活塞运动过程中V₁与V₂的变化足够小，我们必须设定足够小的液压缸有效作用面积。设定如下参数：
        本示例液压缸的作用面积与行程非常不合理，在这里仅仅是为了验证机械刚度与液压刚度的等价，我们看到，以一种现实的方式实现这种等价并不容易，机械解决方案似乎比液压解决方案更合适。
我们设定液压缸模型HJ021的参数为：x_act0=2.56m，stroke=5.12m，选择100bar作为初始压力。
通过以上设置，我们获得的两个系统的位移与预期相同，红色虚线为机械系统位移，蓝色实线为液压系统位移。