Amesim背后支撑理论-键合图（Bond Graph）

文章简介：您可能使用过多年Amesim软件，也可能基于Amesim做过大量的工程项目，但是您是否曾想过Amesim背后的支撑理论，本文就给大家讲述下Amesim背后的支撑理论：键合图（Bond Graph）。

之前的文章我们谈到了架构驱动的仿真，实则是正向研发的第一步。在此背景下，系统仿真（俗称一维仿真，与三维有限元仿真对应）逐渐流行起来，成为各行业正向研发的重要一环。一维系统仿真多以微分方程或微分代数方程为基础，看似简单，但机电系统固有的多领域属性导致机电液热控方程耦合，对求解的鲁棒性和速度都提出了较高的要求。一维系统仿真主要有三种建模方式：基于传递函数、非因果建模、因果关系建模，Simulink是典型的基于传递函数的建模方式，新兴的modelica语言则是非因果建模代表，而本文主要论述的功率键合图是因果建模的主要代表。抛开这三种建模方式的优劣之争不谈，本文主要介绍老牌系统建模理论-功率键合图的特点，特别强调一点：西门子一维系统仿真软件Amesim同时支持以上三种建模方式。

本期恰逢Amesim 25周年的生日，从1995年发布的第一个商业版本，专注于流体控制和液压建模，到如今的机电液热控多学科多领域的复杂系统综合仿真平台，从一个小树逐渐成长为一个枝繁叶茂的参天大树。这里面积累了太多的工业知识和无数专家前辈的宝贵经验，以一个Amesim多年使用者，本文介绍下Amesim背后支撑理论-键合图，致敬Amesim开发团队！

有细心的同学可能已经发现Simcenter 1D软件Logo发生了一些变化，这些Logo中的图案都有一个鱼叉箭头，那这个鱼叉箭头代表什么含义呢？和我们今天要讲的背后支撑理论有什么关系？

▲图- 2 Simcenter 1D软件Logo变化

Amesim软件最大的一个特点就是有很多学科模型库，这些学科模型库不仅内部元件可以之间可以相连，组成单学科系统仿真模型，如机械系统、液压系统；而且不同学科模型库元件也可以相连，如图- 3所示，电机元件可以与机械旋转惯量元件相连，机械旋转惯量元件还能与液压泵相连，组成多学科机电系统模型。那这些不同学科元件为什么可以直接相连接呢？他们背后遵循什么规则？

 ▲图- 3 不同学科的元件为什么可以连接一起

在我们深入使用Amesim时，也会发现有些元件之间可以直接相连，如质量块与弹簧、质量块与阻尼元件、和液压容腔和节流元件可以直接相连；而有些元件却不可以直接相连，如弹簧与另一个弹簧，节流元件和另一个节流元件。那这又是为什么呢？

 ▲图- 4 有些元件可以相连，而有些元件则不能直接相连

要想解开以上谜团，我们必须要了解一些键合图理论。键合图理论，英文是Bond Graph，是美国麻省理工学院的H.M.Paynter教授在1959年创建的，是在功率流概念的基础上，描述系统功率的传输、转化、贮存、耗散的图形方法。借助９个基本多通口元素来准确、清晰地表达出系统模型中要考虑的物理效应，能够在真实的物理系统和系统数学模型之间建立起桥梁，适合处理涉及机、电、液、热力学和控制等多学科领域复杂系统的动态行为建模与仿真分析，如图- 5所示，汽车悬挂系统的键合图模型。

 ▲图- 5 汽车悬挂系统的键合图模型

键合图方法具有很多优点：1）能显式反映系统的物理拓扑结构及各种动态影响因素；2）因果关系是键合图方法所特有的重要属性，能表达出模型的计算结构；3）键合图是一种准确表达系统数学模型的方法，可以方便地推导出一组相对简单、易于编程实现的方程组，适于自动建模仿真技术的应用；4）具有层次化结构和面向对象的特性，增强了模型的易建性和可重用性；5）作为重要的系统模型表达方式，可以方便地转换成状态空间表示式、传递函数、方块图、信号流图等其它形式。

键合图的核心是功率键，每个功率键代表工程系统的功率或能量流向。每个功率键由一对功率变量组成，如图- 6所示，这对功率变量的乘积等于键传递的功率。功率变量分为流变量（Flow）和势变量（Effort），如电气系统的功率键，流变量是电流，势变量是电压，电压和电流的乘积等于该键传递的功率。从表达形式来看，键合图既可以表达非因果关系，也可以表达因果关系。如图- 6所示，如果功率键不添加因果竖线，已经可以表达出所连接的物理系统，这种非因果形式不明确指出流变量和势变量，哪个是输入哪个是输出。但为了便于状态方程的推导，功率键还要进一步的明确因果关系，即添加因果竖线，如图- 6所示，如果因果竖线添加了箭头的左侧，对于元件A来说代表势变量是输入，流变量是输出；如果因果竖线添加了箭头的右侧，对于元件A来说代表流变量是输入，势变量是输出。基于因果关系分析，可以有规律地推导系统状态方程，能够预测模型阶数、判断系统可控性和稳定性等重要特性，另外，在方程推导之前，可以预知系统方程的表现形式，这一特点对系统动力学方程的推导及求解非常重要。

▲图- 6 功率键图示

常见的功率键变量如表- 1所示。

表- 1 常见的功率键变量

势变量(Effort)和流变量(Flow)的乘积等于功率(Power)，而功率随时间的积分等于能量(Energy)，而能量既不能产生也不能消失，只能从一种形式转化到另一种形式 。即：能量不生不灭——三大守恒定律，这是键合图的基础。

从以上功率键的定义可以看出，根据能量守恒定律，Amesim中不同学科元件之间才能够相连。

 ▲图- 7 基于守恒定律保证了不同学科元件间的连接

定义了功率键能够解决不同学科元件之间相连的问题，但物理世界如此复杂，如何才能像搭积木一样，只需要定义一些简单的基本组成元素，通过这些元素的组合就能清晰的表达出复杂物理系统的动态行为。这也是键合图的魅力所在，它洞悉了复杂物理系统的本质，以有限的基本元素就可以表达出无穷的复杂物理现象。

从场论角度，键合图方法将系统组件分为储能场（包括容性元C和惯性元I）和耗能场（阻性元R），源场（包括势源Se和流源Sf）作为环境因素作用于系统。储能场、耗能场和源场通过物理拓扑结构相互耦合，从而实现能量传输与变换，物理拓扑结构之间能量传输与变换须满足能量守恒定律。

▲图- 8 广义系统组成

由广义系统组成可知，能量通过物理拓扑结构实现在各组件通口之间的传输与转换，能量的变化过程是系统与环境之间相互耦合的基本动态过程。基于此基本思想，Paynter提出了键合图建模方法，用图形化的手段来描述能量（功率）通过结型结构｛0、1、TF、GY｝（物理拓扑结构）实现在各组件功率通口｛R、C、I、Se、Sf｝之间的传输与转换过程。

键合图方法的9个基本组成元素，如表- 2所示。

表- 2 键合图方法的9个基本组成元素

以上9种基本组成元素，一方面是这种图形化表达方式，可读性很强，能够清晰得看出物理系统的能量传递路径；另一方面是每种元素，背后都对应一种数学方程，这样就能建立出复杂物理系统的状态方程。所以键合图理论是物理世界和抽象的数学世界的桥梁，也非常适于自动建模仿真技术的应用。

基于键合图理论，能够做到复杂机电液系统统一建模。因为无论是机械系统、电气系统还是液压系统，系统组件都可分为储能场（包括容性元C和惯性元I）和耗能场（阻性元R），它们背后的方程形式是统一的，这种机制保证了机电液系统统一建模以及求解器统一解算，目前Amesim是最适合机电液建模的软件之一。

▲图- 9 液压、机械、电气惯性元I的方程形式统一

▲图- 10 液压、机械、电气阻性元R的方程形式统一

▲图- 11 液压、机械、电气容性元C的方程形式统一

键合图方法适用于不同学科的建模，通过键合图方法表达的不同学科的键合图有惊人的相似性，如图- 9所示，一个由质量块、弹簧和阻尼组成的简单机械系统，和另一个由电阻、电容和电感组成的简单电气系统，描述它们的键合图很相似。

▲图- 12 简单机械、电气系统键合图示例

下面我们给出轴向柱塞泵和喷嘴挡板伺服阀的原理图，键合图和它们的Amesim模型，以便大家进一步的了解键合图理论的应用，键合图理论支撑着这些复杂系统的动态行为建模。

▲图- 13 轴向柱塞泵原理图

▲图- 14 考虑两个自由度的轴向柱塞泵的键合图

▲图- 15 Amesim中搭建的轴向柱塞泵仿真模型

▲图- 17 喷嘴挡板伺服阀的键合图

▲图- 18 喷嘴挡板伺服阀的Amesim模型

对键合图理论比较感兴趣的同学，可以进一步参考大连理工大学的田树军编写的《液压系统动态特性数字仿真(第二版)》和美国的Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis and Ronald C. Rosenberg合著的《System dynamics:  modeling, simulation, and control of mechatronic systems(Fifth Edition)》，这两本书是学习键合图理论非常好的参考材料。

曾有幸和一位液压仿真界的专家深入交谈，非常认同他总结出来的工程师掌握一门仿真技术的三个要素：1）理解该仿真技术的背后支撑理论；2）能够熟练工具软件，懂得一些的建模与仿真技巧；3）基于该软件开展大量的工程应用。真正能达到上述的三方面，并且能够融会贯通，才能算真正掌握一门仿真技术。

Amesim软件从理论层面，支持多种建模方式（键合图、Modelica、框图…），满足不同层次或不同模型开发人员的各种建模习惯的需求。从工程应用角度，Amesim积累了大量的多领域多学科模型库，这些模型库可以构建各种复杂的机电系统模型，开展各种时域或频域仿真分析。Amesim是最适合机电液建模和仿真的软件之一。

[1] 田树军，胡全义等. 液压系统动态特性数字仿真(第二版)[M] . 大连：大连理工大学出版社，2012.

[2] Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis and Ronald C. Rosenberg, System dynamics:  modeling, simulation, and control of mechatronic systems(Fifth Edition), Hoboken, New Jersey, USA:JOHN WILEY & SONS, INC. 2012.

[3] 胡全义. 基于键合图的多领域统一建模与仿真技术研究[D]. 博士学位论文, 大连理工大学，2017.